57. 三道数论题（2 / 2）

不到一分钟，杨晨刷刷写完了。

n/3n2/2n3/6=n/6(23nn2)=1/6n(n1)(n2)，连续两个整数的乘积是2的倍数，连续三个整数的乘积是3的倍数，(2，3)=1，2能整除n(n1)，3能整除n(n1)(n2)，所以，6能整除n(n1)(n2)，即，1/6n(n1)(n2)为整数。

熊安三人觉得这在意料之中，但没想到杨晨速度会这么快，尤其是几个变换形式，不加思索，是无论如何都没法在这么短的时间内写出来的。

吴老教授摸了摸下巴：“杨晨，别高兴太早，你能把这道题目做出来，只表明你了解数论的皮毛，入了门槛，并不表示你给我的问题我有义务帮你解答。”

杨晨站在一边，暗松一口气，虽不至于一下子得到吴老教授的肯定，但起码没有在第一轮解答不出来。

沙沙沙，擦除原来那道数论题，吴老教授拿起水笔，又写下一个相对而言比较难的题目，然后站在白板一边，把水笔丢给杨晨。

证明，形如4n-1的整数不能写成两个平方数的和。

熊安三人一看，倒抽一口冷气，这道题目是他们研究生的一道题，上次考试时，至少熊安就不会，听说不只是应用数学系，还有其他的数院的人有70%的人都没有解答出来。吴老教授出这样的题目是不是太狠了？心中默默祈祷吴老教授能否手下留情？

杨晨眉头微皱，五秒钟后，随即松开，在白板的空白处写起来，几乎没停顿，一气呵成，结论正确。

设n是正数，并且n≡-1(mod4)，如果n=x2y2，则因为对于模4，x，y只与0，1，2，-1等同余，所以x2，y2只能与0，1同余，所以x2y2恒等于0，1，2(mod4)，而这与n≡-1(mod4)，这假设不成立，即定理的结论成立。备注：≡为恒等于，mod为求模。

熊安三人暗自喝彩，杨晨可以啊，一个大二的非应用数学系的本科生居然会解他们研究生的题目。找他翻译论文真是太值了，杨晨还蛮负责任，不仅帮他们翻译纯粹的英语，直接帮他们审核，1万块都不嫌多。

梁东和叶勇偷偷向熊安竖起大拇指，叶勇轻声说：“熊安，你的眼光可以啊，应该早点把论文给杨晨翻译。”

吴老教授没有笑，但眼睛已经眯成了一条缝，下巴微微扬起：“有个中间过程直接一笔带过，希望你写得详细一点。”

“白板太小，我写不下。这个地方有个推论，可以参见《初等数论》第56页。”

哟，有点意思。

刚好，办公室里摆放着很多数论方面的书籍，刚好有一本《数学宝山上的明珠》，熊安眼疾手快，找到那一本，翻到杨晨说的那一页，两眼放光：“吴老教授，还真有，不需要证明，可以直接拿来用。您看！”

吴老教授微微点头，压了压手：“不用给我看，我知道那里有。”